Question

（2012•浦東新區(qū)三模）已知函數(shù)y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x²-（4

7

tanθ）x+1，
（1）當(dāng)f（x）=sin（x+φ）為偶函數(shù)時，求φ的值．
（2）當(dāng)f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

sin（2x+

π

3

）時，g（x）在A上是單調(diào)遞減函數(shù)，求θ的取值范圍．
（3）當(dāng)f（x）=m•sin（ωx+φ₁）時，（其中m∈R且m≠0，ω＞0），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

2

，0）對稱，又關(guān)于直線x=π成軸對稱，試探討ω應(yīng)該滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=sin（x+φ）為偶函數(shù)，可得 2sinxcosφ=0，故cosφ=0，由此可得φ 的值．
（2）化簡 函數(shù)f（x）的解析式為

7

sin（2x+α）∈[-

7

，

7

]，A=[-

7

，

7

]．化簡g（x）=(x-2

7

tanθ)2+1-28tan²θ，由題意可知：2

7

tanθ≥

7

，tanθ≥

1

2

，由此可得θ的取值范圍．
（3）由條件得 （2n-1）

T

4

=π-

π

2

，再由n∈N^*，（2n-1）

π

2ω

=

π

2

，可得ω=2n-1．由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

2

，0）對稱求得ωx+φ₁ =kπ+

π

2

，可得φ₁ =kπ+

π

2

．再由f（x）的圖象關(guān)于直線x=π成軸對稱，所以 sin（πω+φ₁ ）=±1，可得 πφ+kπ+

π

2

=k′π+

π

2

，k′∈z，由此求得ω 滿足的條件．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=sin（x+φ）為偶函數(shù)，所以，sin（x+φ）=sin（-x+φ），
化簡為 2sinxcosφ=0，∴cosφ=0，所以φ=kπ+

π

2

，k∈z…（4分）
（2）∵函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

sin（2x+

π

3

）=

3

sin2x+2cos2x=

7

sin（2x+α）∈[-

7

，

7

]，
其中，sinα=

2

7

，cosα=

3

7

，所以 A=[-

7

，

7

]…（8分）
g（x）=x²-（4

7

tanθ）x+1=(x-2

7

tanθ)2+1-28tan²θ，
由題意可知：2

7

tanθ≥

7

，tanθ≥

1

2

，∴kπ+arctan

1

2

≤θ≤kπ+

π

2

，k∈z，
即θ的取值范圍是[kπ+arctan

1

2

，kπ+

π

2

]，k∈z．（10分）
（3）由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

2

，0）對稱，又關(guān)于直線x=π成軸對稱，故（2n-1）

T

4

=π-

π

2

．…（12分）
再由n∈N^*，（2n-1）

π

2ω

=

π

2

，所以，ω=2n-1，①（14分）
由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

2

，0）對稱知道 sin（

π

2

ω+φ₁）=0，∴ωx+φ₁ =kπ+

π

2

，
∴

π

2

（2n-1）+φ₁ =kπ，k∈z，φ₁ =kπ+

π

2

．
又因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于直線x=π成軸對稱，所以 sin（πω+φ₁ ）=±1，
∴πφ+kπ+

π

2

=k′π+

π

2

，k′∈z，所以，ω=k，k∈N^* ②．（16分）
由①②可知，ω=2n-1，n∈N^*． （18分）

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，
屬于中檔題．