Question

設MN是雙曲線的弦，且MN與x軸垂直，A₁、A₂是雙曲線的左、右頂點．
（Ⅰ）求直線MA₁和NA₂的交點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線y=x-1與軌跡C交于A、B兩點，若軌跡C上的點P滿足（O為坐標原點，λ，μ∈R）
求證：為定值，并求出這個定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵A₁、A₂是雙曲線的左、右頂點，∴A₁（-2，0）A₂（2，0）
∵MN是雙曲線的弦，且MN與x軸垂直，∴設M（x₀，y₀），則N（x₀，-y₀）
則直線MA₁和NA₂的方程分別為y=（x+2），y=（x-2）
聯立兩方程，解x₀，y₀，得 ，∵M（x₀，y₀）在雙曲線上，代入雙曲線方程，得
，即直線MA₁和NA₂的交點的軌跡C的方程為
（Ⅱ）聯立得7x²-8x-8=0
由韋達定理得
A，B，P三點在上，
知3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，
∵，∴P點坐標為（λ²x₁²+2λμx₁x₂+μ²x₂²，λ²y₁²+2λμy₁y₂+μ²y₂²）
∴3（λ²x₁²+2λμx₁x₂+μ²x₂²）+4（λ²y₁²+2λμy₁y₂+μ²y₂²）=12
又
∴
∴為定值，且定制為1．
分析：（Ⅰ）利用交軌法來求直線MA₁和NA₂的交點的軌跡方程，先根據已知條件求出A₁、A₂點的坐標，設M（x₀，y₀），則N（x₀，-y₀），求出直線MA₁和NA₂的方程，聯立方程，方程組的解為直線MA₁和NA₂交點的坐標，再把M點坐標（x₀，y₀）用x，y表示，代入雙曲線方程，化簡即得軌跡C的方程．
（Ⅱ）聯立直線y=x-1與軌跡C方程，解出A，B點橫坐標之和與之積，因為P，A，B三點都在橢圓上，所以都滿足橢圓方成，再根據，得到三點坐標滿足的關系式，把P點坐標用A，B坐標表示，代入橢圓方程，根據前面求出的x₁+x₂，x₁x₂的值，化簡，即可得到的值，為定植．
點評：本題主要考查了交軌法求軌跡方程，以及直線與圓錐曲線相交問題，注意韋達定理的應用．