Question

如圖，已知長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F為棱AD．AB的中點．A₁C₁和B₁D₁相交于點O．A₁C₁＝2a，BB₁＝B₁C₁＝a，

(Ⅰ)求證：EF∥平面CB₁D₁；

(Ⅱ)求直線B₁C與平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(Ⅰ)連結BD．在長方體AC1中，對角線BD‖B1D1． 　　又∵E、F為棱AD．AB的中點， 　　∴ 　　∴　3分 　　又∵B1D1平面，平面， 　　∴EF∥平面CB1D1．　6分 　　(Ⅱ)∵在長方體中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而AA1平面AC·C1A1， 　　∴平面ACC1A1⊥平面A1B1C1D1，且平面ACC1A1∩平面A1B1C1D1＝A1C1 　　∵在RT⊿A1B1C1中，A1C1＝2a＝2B1C1，易知，⊿OB1C1是等邊三角形．　8分 　　取OC1中點M，連結B1M，則有B1M⊥A1C1，∴B1M⊥平面ACC1A1 　　連結MC，則∠B1CM即為直線B1C與平面ACC1A1所成角　10分 　　在RT⊿B1MC中，B1M＝，B1C＝ 　　∴sin∠B1CM＝　12分