Question

【題目】如圖，三棱錐，側棱，底面三角形為正三角形，邊長為，頂點在平面上的射影為，有，且.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）線段上是否存在點使得⊥平面，如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）證線面平行，則要在平面找一線與之平行即可，顯然分析即得證，（2）求二面角可借助空間直角坐標系將兩個平面的法向量一一求出，再根據向量的數量積公式便可求解（3）存在問題可以根據結論反推即可，容易得因為，所以與不垂直，故不存在

試題解析：

（Ⅰ）因為，且， ，所以，

所以.

因為為正三角形，所以，

又由已知可知為平面四邊形，所以.

因為平面， 平面，

所以平面.

（Ⅱ）由點在平面上的射影為可得平面，

所以， .

以分別為建立空間直角坐標系，則由已知可知， ， ， .

平面的法向量，

設為平面的一個法向量，則

由可得

令，則，所以平面的一個法向量，

所以，

所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得， ，

因為，

所以與不垂直，

所以在線段上不存在點使得⊥平面.