Question

（13分）（2011•重慶）設{a_n}是公比為正數的等比數列a₁=2，a₃=a₂+4．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列，求數列{a_n+b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）a_n=2×2^n﹣1=2ⁿ（Ⅱ）2n﹣1        2ⁿ⁺¹﹣2+n²=2ⁿ⁺¹+n²﹣2

試題分析：（Ⅰ）由{a_n}是公比為正數的等比數列，設其公比，然后利用a₁=2，a₃=a₂+4可求得q，即可求得{a_n}的通項公式
（Ⅱ）由{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列 可求得b_n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比數列與等差數列的前n項和公式即可求得數列{a_n+b_n}的前n項和S_n．
解：（Ⅰ）∵設{a_n}是公比為正數的等比數列
∴設其公比為q，q＞0
∵a₃=a₂+4，a₁=2
∴2×q²="2×q+4" 解得q=2或q=﹣1
∵q＞0
∴q="2"
∴{a_n}的通項公式為a_n=2×2^n﹣1=2ⁿ
（Ⅱ）∵{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列
∴b_n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1
∴數列{a_n+b_n}的前n項和S_n=+=2ⁿ⁺¹﹣2+n²=2ⁿ⁺¹+n²﹣2
點評：本題考查了等比數列的通項公式及數列的求和，注意題目條件的應用．在用等比數列的前n項和公式時注意辨析q是否為1，只要簡單數字運算時不出錯，問題可解，是個基礎題．