Question

已知點P(3,4)是橢圓+＝1(a>b>0)上的一點，F₁、F₂是橢圓的兩焦點，若PF₁⊥PF₂，試求：

（1）橢圓方程；

（2）△PF₁F₂的面積.

Answer 1

（1）法一：令F₁(－c,0)，F₂(c,0)，
∵PF₁⊥PF₂，∴kPF₁·kPF₂＝－1，
即·＝－1，解得c＝5，
∴橢圓方程為＋＝1.
∵點P(3,4)在橢圓上，
∴＋＝1，
解得a²＝45或a²＝5，
又a>c，∴a²＝5舍去，
故所求橢圓方程為＋＝1.
法二：∵PF₁⊥PF₂，
∴△PF₁F₂為直角三角形，
∴|OP|＝|F₁F₂|＝c.
又|OP|＝＝5，∴c＝5，
∴橢圓方程為＋＝1(以下同法一)

（2）法一：P點縱坐標的值即為F₁F₂邊上的高，
∴S△PF₁F₂＝|F₁F₂|×4＝×10×4＝20.
法二：由橢圓定義知：|PF₁|＋|PF₂|＝6①
又|PF₁|²＋|PF₂|²＝|F₁F₂|²②
①²－②得2|PF₁|·|PF₂|＝80，
∴S△PF₁F₂＝|PF₁|·|PF₂|＝20