Question

已知是首項的遞增等差數列，為其前項和，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列滿足，為數列的前n項和．若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）。

試題分析：（1）把式中的、用和進行代換得與聯立方程組解出，即可求出通項公式；（2）由（1）可得的通項公式，通過觀察求的前項和可通過裂項求得，求得后代入不等式，得到一個關于和的二元一次不等式，要求的取值范圍可通過將分離出來，然后用不等式的基本性質及函數的基本性質即可求出的取值范圍。
試題解析：（1）由，得
           （2分）
            （4分）
（2）由（1）得
所以     （6分）
由已知得：恒成立，
因，所以恒成立，              （7分）
令，則
當為偶數時，
當且僅當，即時，，所以；  （8分）
當為奇數時，
可知隨的增大而增大，所以，所以  （9分）
綜上所訴，的取值范圍是      （10分）  （其他解法請酌情給分）項和公式；2、列項求和法；3、基本不等式；4、函數的單調性。