Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=1，點D是A₁C的中點．
（I）求A₁B₁與AC所成的角的大小；
（II）求證：BD⊥平面AB₁C；
（III）求二面角C-AB₁-B的大小．

Answer 1

分析：（法一）
（ I）由異面直線所成角的定義，考慮AB∥A₁B₁，∠BAC是A₁B₁與AC所成的角．然后在直角三角形ABC中可求∠BAC
（II）由AA₁⊥平面ABC，考慮取AC的中點E，則DE∥AA₁．從而可得DE⊥平面ABC．利用三垂線定理可得BD⊥AC，同理可證BD⊥B₁C，結(jié)論可證．
（III）利用定義法：考慮到AB=BB₁，故取AB₁中點F，連接CF，BF可得BF⊥AB₁，由已知可知AC=BC₁同理可得CF⊥AB₁．
則∠BFC為二面角C-AB₁-B的平面角，在Rt△BFC中求解即可
（法二）
（I）同法一
（II）分別以BA、BC、BB₁為x軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，）要證明BD⊥平面AB₁C只有證明
BD⊥AC，BD⊥AB₁，利用向量的知識轉(zhuǎn)化為證明

BD

•

AC

=0①    

BD

• 

AC1

 =0②，通過證明①②即可
（III）由題意可得

BC

是平面ABB₁的一個法向量，

BD

是平面AB₁C的一個法向量，代入公式cosθ=

BD • BC

| BD || BC

可求．

解答：解：法一：（I）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB．
∴∠BAC是A₁B₁與AC所成的角．（2分）
在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°．（3分）
∴A₁B₁與AC所成角為45°．（4分）

（II）取AC中點E，連接DE，BE，∵D是A₁C的中點，則DE∥AA₁．
∵AA₁⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC．
則BE是BD在平面ABC內(nèi)的射影．（6分）
∵AB=BC，∴BE⊥AC．∴BD⊥AC．（7分）
同理可證BD⊥B₁C．（8分）
又AC∩B₁C=C，∴BD⊥平面AB₁C．（9分）
（III）取AB₁中點F，連接CF，BF，（10分）
AB=BB₁，∴BF⊥AB₁∵AC=B1C=

2

，∴CF⊥AB₁．
則∠BFC為二面角C-AB₁-B的平面角．（12分）
在Rt△BFC中，BF=

2

2

，BC=1，∠FBC=90°，
則tanBFC=

2

．（13分）
∴∠BFC=arctan

2

．（14分）
即二面角C-AB₁-B的大小為arctan

2

．

法二：（I）同法一．
（II）建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，如圖，
則B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（0，0，1），A₁（1，0，1），D（

1

2

，

1

2

，

1

2

)．（6分）
則

BD

=(

1

2

，

1

2

，

1

2

)，

AC

=(-1，1，0)，

AB1

=(-1，0，1)．∴

BD

•

AC

=0，

BD

•

AB1

=0．（8分）
∴BD⊥AC，BD⊥AB₁，且AC∩AB₁=A．∴BD⊥平面AB₁C．（9分）

（III）∵BC⊥BB₁，BC⊥AB，AB∩BB₁=B，∴BC⊥平面ABB₁．
∴

BC

=(0，1，0)是平面ABB₁的法向量．（11分）
由（II）可知

BD

=(

1

2

，

1

2

，

1

2

)是平面AB₁C的法向量．
cos＜

BC

，

BD

＞=

BC • BD

| BC || BD |

=

1 2

3 2

=

3

3

．（13分）
即二面角C-AB₁-B的大小為arccos

3

3

．（14分）

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系中的垂直關(guān)系：利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的運用；異面直線所成的角的求解，要注意異面直線成角的范圍：(0，

π

2

]；二面角的度量：二面角的平面角的作法①空間向量法，轉(zhuǎn)化為求兩個法向量的夾角的求解②定義法，利用空間向量的知識解決幾何中的量，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力