Question

（2011•西城區二模）已知函數f(x)=

cos2x

sin(x+ π 4 )

．
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）若f(x)=

4

3

，求sin2x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據分母不為0，得到sin（x+

π

4

）不等于0，根據正弦函數的圖象與性質可列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）把函數解析式中的分母利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，分子利用二倍角的余弦函數公式化簡，并利用平方差公式分解因式，分子分母約分后可得出化簡結果，然后根據f（x）的值得出cosx-sinx的值，最后把所求的式子利用二倍角的正弦函數公式化簡，加上1減去1和原式保持相等，再把“1”化為sin²x+cos²x后，利用完全平方公式化為關于cosx-sinx的式子，把求出的cosx-sinx的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，sin(x+

π

4

)≠0，（2分）
所以x+

π

4

≠kπ(k∈Z)，（3分）
所以x≠kπ-

π

4

 (k∈Z)，（4分）
函數f（x）的定義域為{x|x≠kπ-

π

4

，k∈Z }；（5分）
（Ⅱ）f(x)=

cos2x

sin(x+ π 4 )

=

cos2x

sinxcos π 4 +cosxsin π 4

（7分）
=

2 cos2x

sinx+cosx

（8分）
=

2 (cos2x-sin2x)

sinx+cosx

=

2

(cosx-sinx)，（10分）
因為f(x)=

4

3

，所以cosx-sinx=

2 2

3

．（11分）
所以sin2x=2sinxcosx=1-（1-2sinxcosx）=1-（cosx-sinx）²=1-

8

9

=

1

9

．（13分）

點評：此題考查了正弦函數的圖象與性質，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式以及特殊角的三角函數值，第二問利用湊項法把所求的式子化為關于cosx-sinx的式子是解題的關鍵，同時注意“1”的靈活變換．