Question

某醫院有3臺醫療機器設備參加某種事故保險．醫院年初保險公司繳納990元的保險金．對在一年內發生此種事故的每臺機器，單位可獲9900元的賠償，設這三臺機器在一年內發生此種事故概率分別為

1

9

，

1

10

，

1

11

，且每臺機器是否發生事故相互獨立，求一年內該單位在此保險中：
（1）獲賠9900元的概率；
（2）獲賠的概率；
（3）獲賠金額ξ分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）每臺機器是否發生事故相互獨立，醫院獲賠一臺機器的保險包括三種情況，這三種情況是互斥的，根據相互獨立事件和互斥事件的概率得到結果．
（2）醫院獲賠包括的情況比較多有三種結果，可以從事件的對立事件來考慮，即先做出不獲賠的概率，再用對立事件的概率公式得到結果．
（3）獲賠金額ξ的可能取值是0，9900，19800，29700，變量對應的概率前面已經做出兩個，另外兩個用類似的方法寫出結果，寫出分布列和期望值．

解答：解：（1）∵每臺機器是否發生事故相互獨立，
三臺機器在一年內發生此種事故概率分別為

1

9

，

1

10

，

1

11

，
醫院獲賠一臺機器的保險包括三種情況，這三種情況是互斥的，
∴獲賠的概率是

1

9

×

9

10

×

10

11

+

1

10

×

8

9

×

10

11

+

1

11

×

8

9

×

9

10

=

11

45

．
（2）醫院獲賠包括的情況比較多，可以從事件的對立事件來考慮，
即先做出不獲賠的概率

8

9

×

9

10

×

10

11

=

8

11

，
∴獲賠的概率是1-

8

11

=

3

11

（3）獲賠金額ξ的可能取值是0，9900，19800，29700
P（ξ=0）=

8

11

，P（ξ=9900）=

11

45

P（ξ=19800）=

3

110

，P（ξ=29700）=

1

990

∴ξ的分布列是

ξ	0	99000	19800	29700
P	8 11	11 45	3 110	1 990

∴Eξ=0×

8

11

+9900×

11

45

+19800×

3

110

+29700×

1

990

=2990

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，解題的關鍵是利用相互獨立事件同時發生的概率做出變量對應的事件．