Question

如圖，已知橢圓C：＋y2＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成的兩個頂點．

(1)設P是橢圓C上任意一點，若＝m＋n，求證：動點Q(m，n)在定圓上運動，并求出定圓的方程；

(2)若M、N是橢圓C上兩上動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

 

Answer 1

（1）見解析（2）1

【解析】(1)易求A(2,1)，B(－2,1)．(2分)

設P(x0，y0)，則＋＝1.由＝m＋n，，得

所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝.故點Q(m，n)在定圓x2＋y2＝上．(8分)

(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則＝－.

平方得＝16＝(4－)(4－)，即＋＝4.(10分)

因為直線MN的方程為(x2－x1)x－(y2－y1)y＋x1y2－x2y1＝0，

所以O到直線MN的距離為

d＝，(12分)

所以△OMN的面積S＝MN·d＝|x1y2－x2y1|＝

＝＝＝1.

故△OMN的面積為定值1.(16分)