Question

已知兩定點，動點P滿足，由點P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，點M滿足，點M的軌跡為C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若線段AB是曲線C的一條動弦，且|AB|=2，求坐標原點O到動弦AB距離的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出動點P的軌跡方程，再根據已知條件用點M的坐標表示點P，使用“代點法”即可得出；
（Ⅱ）先對直線BA的斜率討論，把直線AB的方程與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、基本不等式的性質即可得出．
解答：解：（Ⅰ）設動點P（x，y），則，．
∵動點P滿足，∴，化為
即動點P的軌跡方程為．
設動點M（x，y），則Q（x，0），如圖所示，
∵，，，
∴，化為，
代入動點P的軌跡方程得x²+2y²=2，即曲線C的方程為．
（Ⅱ）當直線AB的斜率不存在時，∵|AB|=2=短軸長，∴直線AB經過原點，此時原點到直線的距離=0；
當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+t，
聯立，消去y得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
∵直線與橢圓有兩個交點，∴△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-2）＞0，化為t²＜1+2k²．（*）
∴，，
∴|AB|=，
∴2²=，
化為．（**）
原點O到直線AB的距離d=，∴，
把（**）代入上式得=，當且僅當，即k²=0，k=0時取等號．
此時，滿足（*）式．
∴，∴，即原點O到直線AB的最大距離d=．
綜上可知：坐標原點O到動弦AB距離的最大值是．
點評：熟練掌握直線與橢圓相交問題的解題模式、根與系數的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、基本不等式的性質、“代點法”是解題的關鍵．