Question

函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，過(guò)曲線y=f（x）上的點(diǎn)P（1，f（1））的切線方程為y=3x+1．
（Ⅰ）若y=f（x）在x=-2時(shí)有極值，求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）在（1）的條件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值；
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，化為斜截式令其斜率為3，縱截距為1，令導(dǎo)函數(shù)在-2處的值為0，列出方程組，求出f（x）的解析式．
（II）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出根，列出x，f（x），f′（x）的變化表，求出極大值，端點(diǎn)值，求出函數(shù)
f（x）的最大值．
（III）方法一：求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于大于0在區(qū)間[-2，1]上恒成立，通過(guò)對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間位置關(guān)系的討論，求出f′（x）的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范圍．
方法二：求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于大于0在區(qū)間[-2，1]上恒成立，分離出參數(shù)b，構(gòu)造新函數(shù)m（x），利用基本不等式求出m（x）的最大值，令b大于等于m（x）的最大值即可．

解答：解（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²+bx+c 求導(dǎo)數(shù)得f'（x）=3x²+2ax+b，
過(guò)y=f（x）上點(diǎn)P（1，f（1））的切線方程為：y-f（1）=f'（1）（x-1），
即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1），
而過(guò)y=f（x）上P（1，f（1））的切線方程為：y=3x+1，
故

3+2a+b=3 -a+c-2=1

，即

2a+b=0…(1) a-c=-3…(2)

∵y=f（x）在x=-2時(shí)有極值，故f'（-2）=0
∴-4a+b=-12…（3）
由（1）（2）（3）相聯(lián)立解得a=2，b=-4，c=5，
f（x）=x³+2x²-4x+5…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）

x	[-3，-2）	-2	(-2， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，1]
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大		極小

f（x）_極大=f（-2）=（-2）³+2（-2）²-4（-2）+5=13  f（1）=1³+2×1-4×1+5=4
∴f（x）在[-3，1]上最大值為13                     …（8分）
（Ⅲ）y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增
又f'（x）=3x²+2ax+b，由（1）知2a+b=0∴f'（x）=3x²-bx+b
依題意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）=3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立．
①在x=

b

6

≥1時(shí)，g(x)最小值=g(1)=3-b+b＞0

&∴b≥6

②在x=

b

6

≤-2時(shí)，g(x)最小值=g(-2)=12+2b+b≥0則b∈Φ
③在-2≤

b

6

≤1時(shí)，g(x)最小值=

12b-b2

12

≥0

則0≤b≤6．

綜合上述討論可知，所求參數(shù)b取值范圍是：b≥0…（12分）
或者（Ⅲ）y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增
又f'（x）=3x²+2ax+b，由（1）知2a+b=0∴f'（x）=3x²-bx+b
依題意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）=3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立∴b≥

3x2

x-1

=

3x2

x-1

=3(x-1)+

3

x-1

+6(x≤1)
令m（x）=3（x-1）+

3

x-1

（x≤1）
則m（x）≤-6∴(

3x2

x-1

)max=0∴b≥0

點(diǎn)評(píng)：解決曲線的切線問(wèn)題時(shí)常利用導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率；解決不等式恒成立常采用分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，求新函數(shù)的最值．