Question

某人上午7時，乘摩托艇以勻速v n mile/h（4≤v≤20）從A港出發到距50 n mile的B港去，然后乘汽車以勻速w km/h（30≤w≤100）自B港向距300 km的C市駛去．應該在同一天下午4至9點到達C市．設乘汽車、摩托艇去所需要的時間分別是x h、y h．
（1）作圖表示滿足上述條件的x、y范圍；
（2）如果已知所需的經費p=100+3×（5-x）+2×（8-y）（元），那么v、w分別是多少時走得最經濟？此時需花費多少元？

Answer 1

分析：（1）要作出滿足條件的x，y的范圍，要先分析題意，找出相關量之間的不等關系，即x，y滿足的約束條件，由約束條件畫出可行域；
（2）要求花費的最小值，即求可行域中的最優解，在線性規劃的解答題中建議使用直線平移法求出最優解，即將目標函數看成是一條直線，分析目標函數Z與直線截距的關系，進而求出最優解．
注意：最后要將所求最優解還原為實際問題．

解答：解：（1）依題意得v=

50

y

，w=

300

x

，4≤v≤20，30≤w≤100．
∴3≤x≤10，

5

2

≤y≤

25

2

．①
由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x+y應在9至14個小時之間，即9≤x+y≤14．②
因此，滿足①②的點（x，y）的存在范圍是圖中陰影部分（包括邊界）．

（2）∵p=100+3•（5-x）+2•（8-y），
∴3x+2y=131-p．
設131-p=k，那么當k最大時，p最小．
在通過圖中的陰影部分區域（包括邊界）且斜率為-

3

2

的直線3x+2y=k中，
使k值最大的直線必通過點（10，4），即當x=10，y=4時，p最小．
此時，v=12.5，w=30，p的最小值為93元．

點評：在解決線性規劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫出可行域?③分析目標函數Z與直線截距之間的關系?④使用平移直線法求出最優解?⑤還原到現實問題中．