Question

已知數列{a_n}中，a₁=6，a_n+1=a_n+1，數列{b_n}，點（n，b_n）在過點A（0，1）的直線l上，若l上有兩點B、C，向量=（1，2）．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=2，在a_k與a_k+1之間插入k個c_k，依次構成新數列，試求該數列的前2013項之和；
（3）對任意正整數n，不等式（1+）（1+）•…•（1+）-a≥0恒成立，求正數a的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+1-a_n=1且a₁=6，知a_n=n+5，再由已知得到∥，從而y=2x+1，又l過點（n，b_n），推導出b_n=2n+1，從而可求得．
（2）新數列：a₁，c₁，a₂，c₂，c₂，a₃，c₃，c₃，c₃，a₄，…，a_k，c_k，…，a_k+1，共計有項數：k+1+•k．經估算k=62，k+1+•k=2016，項數接近2013，由此能求出該數列的前2013項之和．
（3）變量分離得：a≤恒成立，由此能求出正數a的范圍．
解答：解：（1）∵a_n+1-a_n=1且a₁=6，∴a_n=n+5，…（1分）
設l上任意一點P（x，y），則=（x，y-1），
由已知可得∥．
∴y=2x+1，又l過點（n，b_n），
∴b_n=2n+1．…（4分）
（2）新數列：a₁，c₁，a₂，c₂，c₂，a₃，c₃，c₃，c₃，a₄，…，a_k，c_k，…，a_k+1，
共計項數：k+1+•k
經估算k=62，k+1+•k=2016，項數接近2013，…（5分）
∴S₂₀₁₃=（a₁+a₂+…+a₆₂）+（1×c₁+2×c₂+…+62×c₆₂）-2c₆₂       …（6分）
令T=1×c₁+2×c₂+…+62×c₆₂，
T=1×2³+2×2⁵+3×2⁷+…+62×2¹²⁵
4T=1×2⁵+2×2⁷+…+61×2¹²⁵+62×2¹²⁷
兩式相減得：T=     …（8分）
∴S₂₀₁₃=+-2×2¹²⁵=2263+．…（9分）
（3）變量分離得：a≤恒成立．…（10分）
令g（n）=     …（11分）
∴=×
=≥1…（13分）
∵{g（n）}遞增數列．
∴a∈（0，g（1））=（0，]．…（14分）
點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，考查正數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．