Question

【題目】在四面體中，，，平面，，分別為線段，的中點，現將四面體以為軸旋轉，則線段在平面內投影長度的取值范圍是__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

取中點為，中點為，連接、、、，利用三角形的中位線得，，根據等腰三角形的性質和線面垂直的判定定理，可證出平面，進而得出，，當四面體繞旋轉時，與的垂直性保持不變，當與平面垂直時，在平面上的射影的長取得最小值，當與平面平行時，在平面上的射影的長取得最大值，由此即可得出結果．

解：如圖，取中點為，中點為，連接、、、，

，分別是線段和的中點，

，，

由于，，

，，

則，且，平面，

平面，又平面，

，，

在中，，

當四面體繞旋轉時，

，平面，平面，

平面，與的垂直性保持不變，且，長度不變，

當與平面垂直時，在平面上的射影長最短為0，

此時在平面上的射影的長取得最小值為，

當與平面平行時，在平面上的射影長最長為：，

此時在平面上的射影的長取得最大值為，

線段在平面上的射影長的取值范圍是.

故答案為：.