Question

【題目】已知函數f（x）=log2 （a為常數）是奇函數．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若當x∈（1，3]時，f（x）＞m恒成立．求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=log2 是奇函數，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴log2 =﹣log2 ，即log2 = ，
∴a=1，
（Ⅱ）由題意：m＜log2 在x∈（1，3]時恒成立．
設1＜x1＜x2≤3，
∴g（x1）﹣g（x2）= ﹣ = ，
∵x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，
∴g（x1）﹣g（x2）＞0，
∴g（x）在（1，3]上為減函數，
∴f（x）=log2g（x）在（1，3]上為減函數上為減函數．
當x=3時，f（x）有最小值，即f（x）min=1，
故m＜1．
【解析】（Ⅰ）根據奇函數的性質即可求出a的值，（Ⅱ）先判讀函數f（x）的單調性，再求出最值即可得到m的取值范圍．