Question

在△ABC中，A、B為定點(diǎn)，C為動(dòng)點(diǎn)，記∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知c=2，且存在常數(shù)λ
（λ＞0），使得abcos2

C

2

=λ．
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線l與（1）中的曲線交于M，N兩點(diǎn)，若OM⊥ON，試確定λ的范圍．

Answer 1

分析：（1）在△PAB中，由余弦定理，有2²=a²+b²-2abcosC，|a+b|=

4+2ab(1+cosC)

=2

1+abcos2 C 2

=2

1+λ

＞2，故點(diǎn)P的軌跡C是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=2

1+λ

的橢圓，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，MN的方程為x=1，由題意，

1

1+λ

+

1

λ

=1?λ=

1± 5

2

，由λ＞0，得λ=

1+ 5

2

．當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)MN的方程為y=k（x-1）．由

x2 1+λ + y2 λ =1 y=k(x-1)

得：[λ+（1+λ）k²]x²-2（1+λ）k²x+（1+λ）（k²-λ）=0，由題意知：λ+（1+λ）k²＞0，再由韋達(dá)定理能導(dǎo)出0＜λ＜

1+ 5

2

．由此可知0＜λ≤

1+ 5

2

．

解答：解：（1）在△PAB中，由余弦定理，有2²=a²+b²-2abcosC，|a+b|=

4+2ab(1+cosC)

=2

1+abcos2 C 2

=2

1+λ

＞2，
所以，點(diǎn)P的軌跡C是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=2

1+λ

的橢圓．（除去長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)）
如圖，以A、B所在的直線為x軸，以A、B的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．
則，A（-1，0）和B（1，0）．
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

1+λ

+

y2

λ

=1（y≠0）．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，MN的方程為x=1，由題意，有M（1，1），N（1，-1）在橢圓上．
即

1

1+λ

+

1

λ

=1?λ=

1± 5

2

，由λ＞0，得λ=

1+ 5

2

．
②當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)MN的方程為y=k（x-1）．
由

x2 1+λ + y2 λ =1 y=k(x-1)

得：[λ+（1+λ）k²]x²-2（1+λ）k²x+（1+λ）（k²-λ）=0，
由題意知：λ+（1+λ）k²＞0，
所以x1+x2=

2(1+λ)k2

λ+(1+λ)k2

，x1•x2=

(1+λ)(k2-λ)

λ+(1+λ)k2

．
于是：y1•y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=

-λ2k2

λ+(1+λ)k2

．
因?yàn)镺M⊥ON，所以

OM

•

ON

=0，
所以x1•x2+y1•y2=

(1+λ-λ2)k2-λ2-λ

λ+(1+λ)k2

=0，
所以，k2=

λ2+λ

1+λ-λ2

≥0，
由λ＞0得1+λ-λ²＞0，解得0＜λ＜

1+ 5

2

．
綜合①②得：0＜λ≤

1+ 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程和確定λ的范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意韋達(dá)定理和橢圓性質(zhì)的應(yīng)用．