Question

設f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．
（1）求a的值及f（x）的定義域．
（2）求f（x）在區間[0，

3

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=2求得a的值，由對數的真數大于0求得f（x）的定義域；
（2）判定f（x）在（-1，3）上的增減性，求出f（x）在[0，

3

2

]上的最值，即得值域．

解答：解：（1）∵f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x），
∴f（1）=log_a2+log_a2=log_a4=2，∴a=2；
又∵

1+x＞0 3-x＞0

，∴x∈（-1，3），
∴f（x）的定義域為（-1，3）．
（2）∵f（x）=log₂（1+x）+log₂（3-x）=log₂[（1+x）（3-x）]=log₂[-（x-1）²+4]，
∴當x∈（-1，1]時，f（x）是增函數；
當x∈（1，3）時，f（x）是減函數，
∴f（x）在[0，

3

2

]上的最大值是f（1）=log₂4=2；
又∵f（0）=log₂3，f（

3

2

）=log₂

15

4

=-2+log₂15，
∴f（0）＜f（

3

2

）；
∴f（x）在[0，

3

2

]上的最小值是f（0）=log₂3；
∴f（x）在區間[0，

3

2

]上的值域是[log₂3，2]．

點評：本題考查了求函數的定義域和值域的問題，利用對數函數的真數大于0可求得定義域，利用函數的單調性可求得值域．