Question

某地有三個(gè)村莊，分別位于等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)處，已知AB=AC=6km，現(xiàn)計(jì)劃在BC邊的高AO上一點(diǎn)P處建造一個(gè)變電站．記P到三個(gè)村莊的距離之和為y．
（1）設(shè)∠PBO=α，把y表示成α的函數(shù)關(guān)系式；
（2）變電站建于何處時(shí)，它到三個(gè)小區(qū)的距離之和最小？

Answer 1

分析：（1）解實(shí)際應(yīng)用題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)所給的條件知在三角形中表示出點(diǎn)到三個(gè)村莊的距離，表示出函數(shù)y的關(guān)系式．
（2）由題意知本題是一個(gè)求函數(shù)最小值的問(wèn)題，這種類型的函數(shù)唯一的處理方式是通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)解題，對(duì)函數(shù)式求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于零，驗(yàn)證導(dǎo)函數(shù)等于零的左右兩邊導(dǎo)數(shù)的符合，得到最小值．

解答：解：（1）∵在Rt△AOB中，AB=6，
∴OB=OA=3

2

．
∴∠ABC=

π

4

由題意知0≤α≤

π

4

．
∴點(diǎn)P到A、B、C的距離之和為
y=2PB+PA=2×

3 2

cosα

+(3

2

-3

2

tanα)=3

2

+3

2

×

2-sinα

cosα

．
∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=3

2

+3

2

×

2-sinα

cosα

(0≤α≤

π

4

)．

（2）由（1）得y′=3

2

×

2sinα-1

cos2α

，
令y′=0即sinα=

1

2

，
又0≤α≤

π

4

，從而α=

π

6

當(dāng)0≤α＜

π

6

時(shí)，y′＜0；當(dāng)

π

6

＜α≤

π

4

時(shí)，y′＞0．
∴當(dāng)α=

π

6

時(shí)，y=3

2

+3

2

×

2-sinα

cosα

取得最小值，
此時(shí)OP=3

2

tan

π

6

=

6

（km），即點(diǎn)P在OA上距O點(diǎn)

6

km處．
即變電站建于距O點(diǎn)

6

km處時(shí)，它到三個(gè)小區(qū)的距離之和最小．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)三角函數(shù)同函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題，解題過(guò)程中用到三角函數(shù)和函數(shù)的思想，是一個(gè)中檔題目，高考時(shí)出上此題，不易得分，解題的關(guān)鍵是運(yùn)算，要過(guò)運(yùn)算這一關(guān)．