Question

已知直線y=2x+b與曲線y=

2x-x2

有且僅有一個公共點，則b的范圍是

[-4，0）∪

5-2

．

Answer 1

分析：先整理C的方程可知曲線C的圖象為半圓，要滿足僅有一個公共點，有兩種情況，一種是與半圓相切，根據原點到直線的距離為半徑1求得b，一種是與半圓相交但只有一個交點，根據圖象可分別求得b的上限和下限，最后綜合可求得b的范圍．

解答：解：依題意可知曲線C的方程可整理成y²+（x-1）²=1（y≥0）
要使直線l與曲線c僅有一個公共點，有兩種情況
（1）直線與半圓相切，原點到直線的距離為1，即

|2+b|

5

=1，b=

5

-2
（2）直線過半圓的右頂點和過半圓的左邊頂點之間的直線都滿足
過右頂點時，4+b=0，b=-4；過左頂點時，b=0，故b的范圍為-4≤b＜0
綜上，b的范圍是[-4，0）∪{

5

-2}
故答案為：[-4，0）∪{

5

-2}．

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系．考查了學生對數形結合思想，分類討論思想，轉化和化歸的思想的綜合運用．