Question

已知橢圓過點，且離心率.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知過點的直線與該橢圓相交于A、B兩點，試問：在直線上是否存在點P，使得是正三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）橢圓的方程為.（2）存在符合題意的點.

解析試題分析：（1）由題意得                      2分
解得
（2）討論當直線的斜率為0時，不存在符合題意的點； 
當直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為,
代入，整理得,
設(shè)，，應(yīng)用韋達定理得到，,
設(shè)存在符合題意的點，
從而弦長
,
設(shè)線段的中點，則，
所以,
根據(jù)是正三角形，得到，且,                   
由得,
得到,
由得關(guān)于的方程，
解得..
（1）由題意得                      2分
解得                          4分
所以橢圓的方程為.                5分
（2）當直線的斜率為0時，不存在符合題意的點；        6分
當直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為,
代入，整理得,
設(shè)，，則，,
設(shè)存在符合題意的點，
則

,              8分
設(shè)線段的中點，則，
所以,
因為是正三角形，所以，且,       9分
由得即，所以,
所以,     10分
由得，
解得