Question

已知圓C：x²＋y²－4x－14y＋45＝0及點Q(－2，3)．

(1)若點P(m，m＋1)在圓C上，求直線PQ的斜率；

(2)若點M是圓C上任意一點，求|MQ|的最大值、最小值；

(3)若點N(a，b)滿足關系式：a²＋b²－4a－14b＋45＝0，求t＝的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：圓C的圓心(2，7)，半徑長r＝2． 　　(1)因為點P(m，m＋1)在圓C上，所以m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，解得m＝4．故點P的坐標為(4，5)．所以直線PQ的斜率kPQ＝＝． 　　(2)點M是圓C上任意一點，點Q(－2，3)在圓外，所以|MQ|的最大值、最小值分別是|QC|＋r、|QC|－r．因為|QC|＝＝4，r＝2，所以|MQ|max＝6，|MQ|min＝2． 　　(3)由題意知，點N在圓C上，t＝表示的是定點Q(－2，3)與圓上動點N的連線l的斜率．設l的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，由圖知，當直線和圓相切時，直線l的斜率k最大，即t最大．此時＝2，解得k＝2±．所以t＝的最大值tmax＝2＋．