Question

（本小題滿分12分）
已知函數f（x）＝a－x－lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a＝1時，證明：（x－1）（lnx－f（x））≥0．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數的定義域為，
令，
（1）當時，，此時，故在上為減函數；
（2）當時，方程有兩根 且                                          
，此時當時，，當時
，故在為減函數，在為增函數；
所以當時，函數的遞減區間為，當時，函數的遞增區間為，遞減區間為。┈┈┈┈┈6分
（Ⅱ）當時，，，
由（Ⅰ）知在為減函數，在為增函數，所以為的最小值，即，所以，故當時，，
∴，                                        
當時，，
令，則
，所以在為增函數，可得出，又因，∴，故當時，，
綜上所述，當時，。┈┈┈┈┈12分

略