Question

設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率．過該橢圓上任一點(diǎn)作軸，垂足為，點(diǎn)在的延長線上，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（3）設(shè)直線（點(diǎn)不同于）與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）;（2）;（3）詳見解析.

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的；（2）用設(shè)點(diǎn)、建立兩個(gè)動點(diǎn)之間坐標(biāo)的關(guān)系和代入已知曲線方程的方法求出動點(diǎn)軌跡方程；（3）先利用三點(diǎn)共線建立與的坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)為線段的中點(diǎn)求出的坐標(biāo)表達(dá)式，進(jìn)一步求出直線的方程，最后根據(jù)曲線圓心到直線的距離與半徑的大小情況判斷其位置關(guān)系.
試題解析：（1）由題意可得，，∴，         2分
∴，所以橢圓的方程為．       4分
（2）設(shè)，，由題意得，即，    6分
又，代入得，即．
即動點(diǎn)的軌跡的方程為．           8分
（3）設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵三點(diǎn)共線，∴，
而，，則，∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，      10分
∴直線的斜率為，
而，∴，∴，       12分
∴直線的方程為，化簡得，
∴圓心到直線的距離，
所以直線與圓相切．          14分