Question

已知函數f(x)=2^x+1定義在R上，
(1)若f(x)可以表示為一個偶函數g(x)與一個奇函數h(x)之和，設h(x)=t，p(t)=g(2x)+2mh(x)+m²-m-1(m∈R)，求出p(t)的解析式；
(2)若p(t)≥m²-m-1對于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范圍；
(3)若方程p(p(t))=0無實根，求m的取值范圍。

Answer 1

解：(1)假設f(x)=g(x)+h(x)①，其中g(x)為偶函數，h(x)為奇函數，
則有f(-x)=g(-x)+h(-x)，即f(-x)=g(x)-h(x)，②
由①②解得g(x)=，h(x)=，
∵f(x)定義在R上，
∴g(x)，h(x)都定義在R上，
∵g(-x)==g(x)，h(-x)==-h(x)，
∴g(x)是偶函數，h(x)是奇函數，
∵f(x)=2^x+1，
∴g(x)=，
h(x)=，
由=t，則t∈R，
平方得t²=，
∴g(2x)=2^2x+=t²+2，
∴p(t)=t²+2mt+m²-m+1。
(2)∵t=h(x)對于x∈[1，2]單調遞增，
∴，
p(t)=t²+2mt+m²-m+1≥m²-m-1對于t∈恒成立，
∴m≥-對于t∈恒成立，
令φ(t)=-，則φ′(t)=，
∵t∈，∴φ′(t)=＜0，
故φ(t)=-在t∈上單調遞減，
∴φ(t)_max=，
∴m≥為m的取值范圍．
(3)由(1)得p(p(t))=[p(t)]²+2mp(t)+m²-m+1，
若p(p(t))=0無實根，即[p(t)]²+2mp(t)+m²-m+1=0①無實根，
方程①的判別式△=4m²-4(m²-m+1)=4(m-1)，
1°當方程①的判別式△＜0，即m＜1時，方程①無實根；
2°當方程①的判別式△≥0，
即m≥1時，方程①有兩個實根p(t)=t²+2mt+m²-m+1=-m±，
即t²+2mt+m²+1±=0②，
只要方程②無實根，故其判別式△=4m²-4(m²+1±)＜0，
即得-1-＜0③，且-1+＜0④，
∵m≥1，③恒成立，
由④解得m＜2，
∴③④同時成立得1≤m＜2；
綜上，m的取值范圍為m＜2。