Question

在半徑為13的球面上有A，B，C 三點，AB=6，BC=8，CA=10，則
（1）球心到平面ABC的距離為    ；
（2）過A，B兩點的大圓面與平面ABC所成二面角為（銳角）的正切值為    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意說明△ABC是直角三角形，平面ABC是小圓，圓心在AC的中點，利用勾股定理直接求出球心到平面ABC的距離．
（2）如圖作出過A，B兩點的大圓面與平面ABC所成二面角，直接求出它的正切值即可．
解答：解：（1）AB=6，BC=8，CA=10，△ABC是直角三角形，平面ABC是小圓，圓心在AC的中點D，
AO=13，AD=5，球心到圓心的距離就是球心到平面ABC的距離，
即：OD=12
（2）過D作DE垂直AB于E，連接OE則∠OED就是過A，B兩點的大圓面與平面ABC所成二面角．
易得DE=4
所以tan∠OED==3
故答案為：（1）12；（2）3．
點評：本題是基礎題，考查球的截面問題，二面角的求法，考查空間想象能力，計算能力，能夠正確作出圖形是解好本題個前提，也是空間想象能力的具體體現．