Question

已知雙曲線

x2

2

-y²=1的左、右頂點分別為A₁、A₂，點P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是雙曲線上不同的兩個動點．求直線A₁P與A₂Q交點的軌跡E的方程．

Answer 1

分析：由直線的斜率公式與直線的點斜式方程，求出直線A₁P、A₂Q方程分別為y=

y1

x1+ 2

（x+

2

）、y=

-y1

x1- 2

（x-

2

）．將兩條直線方程的左右兩邊對應相乘，并利用點P（x₁，y₁）在雙曲線

x2

2

-y²=1上對所得的式子化簡，整理得

x2

2

+y²=1，即為軌跡E的方程，再對所求的軌跡加以檢驗即可得到答案．

解答：解：由題設知|x₁|＞

2

，A₁（-

2

，0），A₂（

2

，0），
∵直線A₁P的斜率為k₁=

y1

x1+ 2

，
∴直線A₁P的方程為y=

y1

x1+ 2

（x+

2

），…①
同理可得直線A₂Q的方程為y=

-y1

x1- 2

（x-

2

）．…②
將①②兩式相乘，得y²=

y12

2-x12

（x²-2）．…③
∵點P（x₁，y₁）在雙曲線

x2

2

-y²=1上，
∴

x12

2

-y₁²=1，可得y₁²=

x12

2

-1=

1

2

（x₁²-2），…④
將④代入③，得y²=

1 2 (x12-2)

2-x12

（x²-2）=

1

2

x²-1，整理得

x2

2

+y²=1，即為軌跡E的方程．
∵點P、Q不重合，且它們不與A₁、A₂重合，
∴x≠0且x≠±

2

，軌跡E的方程為

x2

2

+y²=1（x≠0且x≠±

2

）

點評：本題給出雙曲線上兩條動直線，求直線的交點軌跡方程．著重考查了雙曲線的標準方程、直線的基本量與基本形式和動點軌跡的求法等知識，屬于中檔題．