Question

【題目】如圖，橢圓的上、下頂點分別為， ，右焦點為，點在橢圓上，且.

（1）若點坐標為，求橢圓的方程；

（2）延長交橢圓與點，若直線的斜率是直線的斜率的3倍，求橢圓的離心率；

（3）是否存在橢圓，使直線平分線段？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的標準方程，可得，進而得到，再把點代入橢圓的方程，即可求解橢圓的標準方程；

（2）由直線的方程與橢圓的方程聯立，利用根據與系數的關系，得到的坐標，再由，化簡即可求解橢圓的離心率.

（3）設與交于點，用直線的方程與聯立，求解點坐標，再把點的坐標代入橢圓的方程，令，轉化為函數恒成立，利用二次函數的性質，即可求解結論.

試題解析：（1）， ， ， .

.又， .

， .方程為.

（2）： 與聯立，得，

.， .

又， .

， ， .

（3）： .設與交于點，

由，得.

代入橢圓方程，得，

，令，

得，設，

恒成立， 在上遞增.

又， ，

在存在，使，

存在橢圓，使平分線段.