Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當時,求過點處的切線方程

（2）若函數(shù)有兩個不同的零點,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

【解析】分析：（1）求出，由的值可得切點坐標，由的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；(2) ，先排除不合題意，當時，再討論兩種情況：（i）當時， ，則無零點，不符合題意，（ii）當時，利用函數(shù)單調性結合零點存在定理可得在區(qū)間上有一個零點，在區(qū)間上有一個零點，從而可得結果.

詳解：(1)當時, ,

當時, ,所以點

又由,得,

所以,所以切線方程為 .

（2）函數(shù)f(x)的定義域為： .

，

當a≤0時，易得，則在上單調遞增，

則至多只有一個零點，不符合題意，舍去.

②當a>0時，令得： x=a，則

	+	0	-
	增	極大	減

∴ =f(a)=a(lna+a-1)

設g(x)=lnx+x-1，∵，則g(x)在上單調遞增.

又∵g(1)=0，∴x<1時， g(x)<0； x>1時， g(x)>0.

（i）當時， ，則f(x)無零點，

不符合題意，舍去 .

（ii）當a>1時， ，

∵ ，∴在區(qū)間上有一個零點，

∵ ，

設h(x)=lnx-x， (x>1)，∵，

∴h(x)在上單調遞減，則，

∴，

∴f(x)在區(qū)間(a,3a-1)上有一個零點，綜合知f(x)恰有兩個零點.

綜上所述，當f(x)有兩個不同零點時， a的取值范圍是.