Question

給出下列四個結論：
①已知△ABC中，三邊a，b，c滿足（a+b+c）（a+b-c）=3ab，則∠C等于120°．
②若等差數列a_n的前n項和為S_n，則三點共線．
③等差數列a_n中，若S₁₀=30，S₂₀=100，則S₃₀=210．
④設，則f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）的值為．
其中，結論正確的是     ．（將所有正確結論的序號都寫上）

Answer 1

【答案】分析：①利用平方差公式及完全平方公式化簡已知的等式后得到一個關系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把求得的關系式代入即可求出cosC的值，然后根據C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
②利用第1和2點的坐標表示出確定直線的斜率，利用等差數列的前n項和的公式化簡得到直線的斜率；然后再利用第3和2點的坐標表示出確定直線的斜率，利用等差數列的前n項和的公式化簡得到直線的斜率，判斷求得的斜率相等與否，即可得到三點共線與否；
③根據等差數列的性質可知，S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差數列，列出2（S₂₀-S₁₀）=S₁₀+（S₃₀-S₂₀），將S₁₀和S₂₀的值代入即可求出S₃₀的值；
④先求出f（x）+f（1-x）的值，然后把所求的式子自變量相加為1的兩項結合得到之和為f（x）+f（1-x）的值的9倍，即可求出所求式子的值．
解答：解：①由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，得到（a+b）²-c²=3ab，化簡得：a²+b²-c²=ab，
則cosC===，根據C∈（0，180°），得到∠C=60°，所以此選項錯誤；
②因為==a₁+d，同理=a₁+d，=a₁+d，
則=====，
所以三點共線．此選項正確；
③根據等差數列的性質可知，S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差數列，
得到：2（S₂₀-S₁₀）=S₁₀+（S₃₀-S₂₀），將S₁₀=30，S₂₀=100，
代入得：2（100-30）=30+（S₃₀-100），解得：S₃₀=210．此選項正確；
④因為f（x）+f（1-x）=+
=+=+
===，
則f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）=×9=．此選項正確．
所以，正確的結論序號有：②③④．
故答案為：②③④
點評：此題考查學生靈活運用等差數列的性質及余弦定理化簡求值，靈活運用等差數列的前n項和的公式化簡求值，利用歸納總結找規律的方法求函數的值，是一道綜合題．