Question

【題目】如圖，在四棱臺中，底面是正方形，且，點，分別為棱，的中點，二面角的平面角大小為.

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）將四棱臺還原為棱錐，延長，，，，交于點，取中點，連接，，可得，，可證平面，即可證明結論；

（2）連接交于點，連接，可得，轉化為求直線與平面所成角，由（1）可得平面平面，過作，可證是直線與平面所成角，在中求出即可.

（1）如圖所示，延長，，，，交于點，

由題意得，取中點，連接，，

則，，又，

所以平面，又平面，

所以；

（2）連接交于點，連接，

則且，

所以直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，

由（Ⅰ）得平面，又，所以平面，

又平面，所以平面平面，

又平面平面，

過作平面，

則是直線與平面所成角.

由（Ⅰ）得是二面角的平面角，

所以，

由余弦定理可得，

再由正弦定理得，

，

在中，，

在直角中，，

所以直線與平面所成角的正弦值為.