Question

【題目】已知函數f（x）＝ax2－2x＋1.

（1）當,試討論函數f（x）的單調性；

（2）若≤a≤1，且f（x）在[1,3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）＝M（a）－N（a），求g（a）的表達式；

（3）在（2）的條件下，求g（a）的最小值.

Answer 1

【答案】（1） 時增區間，減區間，時增區間，減區間

（2） （3）

【解析】

試題分析：（1）通過討論a的符合，結合二次函數的性質，從而判斷出函數的單調性；（2）通過討論a的范圍，求出f（x）的單調區間，從而求出函數的最值，進而求出g（a）的解析式；（3）根據a的范圍，求出g（a）的單調性，從而求出g（a）的最小值

試題解析：（1）

-----2分

（2）∵≤a≤1，∴f（x）的圖象為開口向上的拋物線，且對稱軸為x＝∈[1,3].

∴f（x）有最小值N（a）＝1－.

當2≤≤3時，a∈[，]，f（x）有最大值M（a）＝f（1）

＝a－1；

當1≤<2時，a∈（，1]，f（x）有最大值M（a）＝f（3）

＝9a－5；

∴ -----7分

（3）設≤a1<a2≤，則g（a1）－g（a2）＝（a1－a2）（1－）>0，

∴g（a1）>g（a2），∴g（a）在[，]上是減函數.

設<a1<a2≤1，則g（a1）－g（a2）＝（a1－a2）（9－）<0，∴g（a1）<g（a2），

∴g（a）在（，1]上是增函數.

∴當a＝時，g（a）有最小值. -----12分