Question

. (本小題滿分14分)

第21題

設雙曲線=1( a > 0, b > 0 )的右頂點為A，P是雙曲線上異于頂點的一個動點，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點.

(1) 證明：無論P點在什么位置，總有||² = |·| ( O為坐標原點)；

(2) 若以OP為邊長的正方形面積等于雙曲線實、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線離心率的取值范圍；

Answer 1

(Ⅰ) 略   (Ⅱ)  e >    

解析:

：(1) 設OP：y = k x,    又條件可設AR: y = (x – a ),

   解得：= (,),    同理可得= (,),     

∴|·| =|+| =.           4分

   設 = ( m, n ) , 則由雙曲線方程與OP方程聯立解得:

m² =, n² = ,    

∴ ||² = :m² + n² = + = ,

∵點P在雙曲線上，∴b² – a²k² > 0 .

  ∴無論P點在什么位置，總有||² = |·| .                    4分

（2）由條件得：= 4ab,      2分

即k² = > 0 , ∴ 4b > a, 得e >    2分