Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的長軸AB長為4，離心率e=

3

2

，O為坐標原點，過B的直線l與x軸垂直．P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ，連接AQ延長交直線l于點M，N為MB的中點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）證明Q點在以AB為直徑的圓O上；
（3）試判斷直線QN與圓O的位置關系．

Answer 1

分析：（1）由題設可得2a=4，

c

a

=

3

2

，由此能導出橢圓C的方程．
（2）設P（x₀，y₀），則

x02

4

+y02=1．由HP=PQ，知Q（x₀，2y₀）．OQ=

x02+(2y02)

=2．所以Q點在以AB為直徑的圓O上．
（3）設P（x₀，y₀）（x₀≠±2），則Q（x₀，2y₀），且

x02

4

+y02=1．所以直線AQ的方程為y=

2y0

x0+2

(x+2)．令x=2，得M(2，

8y0

x0+2

)．又B（2，0），N為MB的中點，所以N(2，

4y0

x0+2

)，

OQ

=(x0，2y0)，

NQ

=(x0-2，

2x0y0

x0+2

)．由此能導出直線QN與圓O相切．

解答：解：（1）由題設可得2a=4，

c

a

=

3

2

，
解得a=2，c=

3

，∴b=1．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設P（x₀，y₀），則

x02

4

+y02=1．
∵HP=PQ，∴Q（x₀，2y₀）．∴OQ=

x02+(2y02)

=2．
∴Q點在以O為圓心，2為半徑的圓上．即Q點在以AB為直徑的圓O上．
（3）設P（x₀，y₀）（x₀≠±2），則Q（x₀，2y₀），且

x02

4

+y02=1．
又A（-2，0），∴直線AQ的方程為y=

2y0

x0+2

(x+2)．
令x=2，得M(2，

8y0

x0+2

)．又B（2，0），N為MB的中點，∴N(2，

4y0

x0+2

)．
∴

OQ

=(x0，2y0)，

NQ

=(x0-2，

2x0y0

x0+2

)．
∴

OQ

•

NQ

=x0(x0-2)+2y0•

2x0y0

x0+2

=x0(x0-2)+

4x0y02

x0+2

=x0(x0-2)+

x0(4-x02)

x0+2

=x₀（x₀-2）+x₀（2-x₀）=0．
∴

OQ

⊥

NQ

．∴直線QN與圓O相切．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．