Question

【題目】已知函數 (其中， ).

（1）當時，若在其定義域內為單調函數，求的取值范圍；

（2）當時，是否存在實數，使得當時，不等式恒成立，如果存在，求的取值范圍，如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數， 在其定義域內為單調函數等價于或，即可求得的取值范圍；（2）先證，當時，不等式恒成立可等價于在時恒成立，令，根據函數的單調性，求得，從而可得的取值范圍.

試題解析：（1）函數的定義域是， .

若在其定義域內遞增，則.

∵

∴，

若在其定義域內遞減，則

∵， 時，

∴；

綜上， 或.

（2）在時恒成立，

令， ， ，函數在遞增，故時， 取最小值，故在恒成立，

故問題轉化為在時恒成立，

令， ，

令，

而， ，

故存在，使得在遞減，在遞增

∴或

∵

∴.