Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=

1

2

，2S_n=S_nS_n-1+1（n≥2），求：
（1）S₁，S₂，S₃；
（2）猜想數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

（1）∵S₁=a₁=

1

2

，2S_n=S_nS_n-1+1（n≥2），
∴2S₂=S₂S₁+1=

1

2

S₂+1，
∴S₂=

2

3

；
∴2S₃=S₃S₂+1=

2

3

S₃+1，
∴S₃=

3

4

；
（2）由S₁=

1

2

，S₂=

2

3

，S₃=

3

4

，可猜想S_n=

n

n+1

；
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，S₁=

1

2

，等式成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，S_k=

k

k+1

，
則n=k+1時(shí)，∵2S_k+1=S_k+1•S_k+1=

k

k+1

•S_k+1+1，
∴（2-

k

k+1

）S_k+1=1，
∴S_k+1=

k+1

k+2

=

k+1

(k+1)+1

，
即n=k+1時(shí)，等式也成立；
綜合①②知，對任意n∈N^*，均有S_n=

n

n+1

．