Question

【題目】設函數， （）．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若函數在處取得極大值，求正實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】試題分析：

(1)首先求得函數的導函數，然后結合參數分類討論，

當時， 的單調增區間為；

當時， 的單調增區間為，單調減區間為．

(2)求解的導函數，結合的結論分類討論可得正實數的取值范圍為．

試題解析：（Ⅰ）由， ，

所以．

當， 時， ，函數在上單調遞增；

當， 時， ，函數單調遞增， 時， ，函數單調遞減．

所以當時， 的單調增區間為；

當時， 的單調增區間為，單調減區間為．

（Ⅱ）因為，

所以且．

由（Ⅰ）知①當時， ，由（Ⅰ）知在內單調遞增，可得當時， ，當時， ．

所以在內單調遞減，在內單調遞增，所以在處取得極小值，不合題意．

②當時， ， 在內單調遞增，在內單調遞減，所以當時， ， 單調遞減，不合題意．

③當時， ，當時， ， 單調遞增，當時， ， 單調遞減．

所以在處取極大值，符合題意．

綜上可知，正實數的取值范圍為．