Question

（2012•遼寧模擬）選修4-4：坐標系與參數方程
已知極坐標的極點在平面直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同．直線l的極坐標方程為：ρ=

10

2 sin(θ- π 4 )

，點P（2cosα，2sinα+2），參數α∈[0，2π]．
（Ⅰ）求點P軌跡的直角坐標方程；
（Ⅱ）求點P到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）

x=2cosα y=2sinα+2.

消去θ即求出P軌跡的直角坐標方程；
（Ⅱ）直線l的極坐標方程即為ρ

2

sin(θ-

π

4

)=10，化直角坐標方程為x-y+10=0，利用直線和圓的位置關系可解．或利用點線距結合三角函數知識求解．

解答：解：（Ⅰ）

x=2cosα y=2sinα+2.

且參數α∈[0，2π]，
所以點P的軌跡方程為x²+（y-2）²=4．（3分）
（Ⅱ）因為ρ=

10

2 sin(θ- π 4 )

，所以ρ

2

sin(θ-

π

4

)=10，
所以ρsinθ-ρcosθ=10，所以直線l的直角坐標方程為x-y+10=0．（6分）
法一：由（Ⅰ） 點P的軌跡方程為x²+（y-2）²=4，圓心為（0，2），半徑為2.d=

|1×0-1×2+10|

12+12

=4

2

，所以點P到直線l距離的最大值4

2

+2．（10分）
法二：d=

|2cosα-2sinα-2+10|

12+12

=

2

|

2

cos(α+

π

4

)+4|，當α=

7π

4

，dmax=4

2

+2，即點P到直線l距離的最大值4

2

+2．（10分）

點評：本題考查了極坐標方程、普通方程以及轉化，考查了點線距的計算．