Question

如圖所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=

π

2

，P為AB的中點且△ABC與矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．
（1）求證：AD∥平面PCE；
（2）求二面角A-CE-P的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設BD∩CE=Q，連接PQ．利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（2）由題意CA，CB，CD兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的平面角的大小．

解答：（1）證明：設BD∩CE=Q，連接PQ．
在△ABD中，BQ=QD，BP=PA，∴AD∥PQ．
又∵PQ?平面PCE，AD?平面PCE，
∴AD∥平面PCE；
（2）解：由題意CA，CB，CD兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則C（0，0，0），A（1，0，0），E(0，2

2

，2)，P(

1

2

，

2

，0)．
∴

CA

=(1，0，0)，

CE

=(0，2

2

，2)，

CP

=(

1

2

，

2

，0)．
設平面CAE的法向量為

n

=（x，y，z）．
則

n • CA =x=0 n • CE =2 2 y+2z=0

，令z=

2

，則y=-1，x=0．∴

n

=(0，-1，

2

)．
設平面PCE的法向量為

m

，同理由

m • CE =0 m • CP =0

，解得

m

=(-4，

2

，-2)．
又cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

-3 2

22 • 3

=-

33

11

．由圖可知：二面角A-CE-P的平面角是銳角，
∴其余弦值=

33

11

．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理和線面平行的判定定理、通過建立空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角得到二面角的平面角的大小的方法等是解題的關鍵．