Question

已知定義在實數集上的函數f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其導函數記為f'_n（x），且滿足：f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+

1

λ

(ξ2-ξ1)]（ξ₁≠ξ₂），λ，ξ₁，ξ₂為常數．
（Ⅰ）試求λ的值；
（Ⅱ）設函數f_2n-1（x）與f_n（1-x）的乘積為函數F（x），求F（x）的極大值與極小值；
（Ⅲ）試討論關于x的方程

f′n(1+x)

f′n+1(1+x)

=

λn-1

λn+1-1

在區間（0，1）上的實數根的個數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據f₂（x）=x²，可得f₂′（x）=2x，利用f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+

1

λ

(ξ2-ξ1)]，可得
ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+

1

λ

(ξ2-ξ1)]，化簡可求λ的值；
（Ⅱ）先求得y=F（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=（1-x）ⁿ•x^2n-1，再求導函數y'=-n（1-x）^n-1•x^2n-1+（2n-1）x^2n-2•（1-x）ⁿ=x^2n-2•（1-x）^n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，令y'=0，從而可得極值點，由此進行分類討論，進而確定函數的極值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

f′n(1+x)

f′n+1(1+x)

=

2n-1

2n+1-1

，即

n(1+x)n-1

(n+1)(1+x)n

=

2n-1

2n+1-1

(x≠-1)，從而方程為

n

(n+1)

•

1

1+x

=

2n-1

2n+1-1

(x≠-1)，進而可得結論．

解答：解：（Ⅰ）f₂（x）=x²，則f₂′（x）=2x，
∴ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+

1

λ

(ξ2-ξ1)]，又ξ₁≠ξ₂，
∴ξ2+ξ1=2ξ1+

2

λ

(ξ2-ξ1)⇒λ=2．…（4分）
（Ⅱ）令y=F（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=（1-x）ⁿ•x^2n-1，
則y'=-n（1-x）^n-1•x^2n-1+（2n-1）x^2n-2•（1-x）ⁿ=x^2n-2•（1-x）^n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，…（3分）
令y'=0，得x1=0，x 2=

2n-1

3n-1

，x3=1，且x₁＜x₂＜x₃，
當n為正偶數時，隨x的變化，y'與y的變化如下：

x	（-∞，0）	0	(0， 2n-1 3n-1 )	2n-1 3n-1	( 2n-1 3n-1 ，1)	1	（1，+∞）
y'	+	0	+	0	-	0	+
y				極大值		極小值

所以當x=

2n-1

3n-1

時，y_極大=

(2n-1)2n-1•nn

(3n-1)3n-1

；當x=1時，y_極小=0．…（7分）
當n為正奇數時，隨x的變化，y'與y的變化如下：

x	（-∞，0）	0	(0， 2n-1 3n-1 )	2n-1 3n-1	( 2n-1 3n-1 ，1)	1	（1，+∞）
y'	+	0	+	0	-	0	+
y				極大值

所以當x=

2n-1

3n-1

時，y_極大=

(2n-1)2n-1•nn

(3n-1)3n-1

；無極小值．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

f′n(1+x)

f′n+1(1+x)

=

2n-1

2n+1-1

，即

n(1+x)n-1

(n+1)(1+x)n

=

2n-1

2n+1-1

(x≠-1)，
所以方程為

n

(n+1)

•

1

1+x

=

2n-1

2n+1-1

(x≠-1)，…（12分）∴x=

n(2n+1-1)-(n+1)(2n-1)

(n+1)(2n-1)

=

1+(n-1)2n

(n+1)(2n-1)

＞0，…（13分）
又x-1=

n+2-2n+1

(n+1)(2n-1)

，而對于n∈N^*，有2ⁿ⁺¹＞n+2（利用二項式定理可證），∴x＜1．…（14分）
綜上，對于任意給定的正整數n，方程只有唯一實根，且總在區間（0，1）內，所以原方程在區間（0，1）上有唯一實根．…（15分）

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查函數的極值，考查方程根的問題，有較大的難度．