Question

【題目】定義在R上的偶函致y=f（x），恒有f（x+4）=f（x）﹣f（﹣2）成立，且f（0）=1，當0≤x1＜x2≤2時， ＜0，則方程f（x）﹣lg|x|=0的根的個數為（ ）
A.12
B.10
C.6
D.5

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（x）是R上的偶函數，且f（x+4）=f（x）﹣f（﹣2），
∴f（﹣2+4）=f（﹣2）﹣f（﹣2）=0，
∴f（2）=f（﹣2）=0．
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數．
∵當0≤x1＜x2≤2時， ＜0，
∴f（x）在[0，2]上是減函數，在[﹣2，0]上是增函數．
做出y=f（x）與y=lg|x|的函數的部分圖象如下：

由圖象可知y=f（x）與y=lg|x|在（0，+∞）上有5個交點，
根據函數的對稱性可知y=f（x）與y=lg|x|在（﹣∞，0）上有5個交點，
∴方程f（x）﹣lg|x|=0有10個根．
故選：B．