Question

定義在實數集R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=Ax+B（A，B為常數），使得 f（x）≥g（x）對一切實數x都成立，那么稱為 g（x）為函數 f（x）的一個承托函數，給出如下命題：
（1）定義域和值域都是R的函數f（x）不存在承托函數；
（2）g（x）=2x為函數f（x）=2^x的一個承托函數；
（3）g（x）=ex為函數f（x）=e^x的一個承托函數；
（4）函數f(x)=-

1

5x2-4x+11

，若函數g（x）的圖象恰為f（x）在點P(1，-

1

12

)處的切線，則g（x）為函數f（x）的一個承托函數．其中正確的命題的個數是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：承托函數說明函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的上方（至多有一個交點）
①舉反例：f（x）=2x+3的定義域和值域都是R，存在一個承托函數y=2x+1，故命題①不正確；
②舉反例：當x∈（1，2）時，不滿足f（x）≥g（x），說明g（x）=2x不是函數f（x）=2^x的一個承托函數；
③可以用導數工具證明在R上 f（x）≥g（x）成立，故g（x）=ex為函數f（x）=e^x的一個承托函數；
④函數f（x）在點P(1，-

1

12

)處的切線穿過函數f（x）圖象，不滿足承托函數定義．因此不難得出答案．

解答：解：
①f（x）=2x+3的定義域和值域都是R，存在一個承托函數y=2x+1，故命題①不正確；
②舉反例：當x∈（1，2）時，不滿足f（x）≥g（x），比如x=

3

2

時，f(

3

2

)=

8

＜g(

3

2

) =9，
說明g（x）=2x不是函數f（x）=2^x的一個承托函數，故命題②不正確；
③令F（x）=f（x）-g（x）=e^x-ex，F′（x）=e^x-e=0，得x=1，
當x＜1時，F′（x）＜0，F（x）單調遞減，
當x＞1時，F′（x）＞0，F（x）單調遞增，
∴當x=1時，F（x）取最小值=e¹-e=0，∴③正確；
④f（x）在點P(1，-

1

12

)處的切線方程為y=

1

24

x-

1

24

=g（x），
取x=10，可以算得f（10）＜0＜g（10），g（x）不是函數f（x）的一個承托函數．命題④不正確．
故選B．

點評：新定義題，考查對題意的理解和轉化的能力，要說明一個命題是正確的，必須給出證明，如③，對于不正確的命題，舉反例即可，如①②④，屬基礎題．