Question

如圖，已知某橢圓的焦點是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，過點F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F₁B|+|F₂B|=10，橢圓上不同的兩點A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)滿足條件: |F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列.

(1)求該弦橢圓的方程；

(2)求弦AC中點的橫坐標；

(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.

Answer 1

(1) =1 (2) =4 (3) －＜m＜

解析:

(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F₁B|+|F₂B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.

故橢圓方程為=1.

(2)由點B(4,y_B)在橢圓上，得|F₂B|=|y_B|=. 因為橢圓右準線方程為x=,離心率為，根據橢圓定義，有|F₂A|=(－x₁),|F₂C|=(－x₂)，

由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列，得

(－x₁)+(－x₂)=2×,由此得出: x₁+x₂=8.

設弦AC的中點為P(x₀,y₀),則x₀==4.

(3)解法一:  由A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)在橢圓上.

得     

①－②得9(x₁²－x₂²)+25(y₁²－y₂²)=0,

即9×=0(x₁≠x₂)

將 (k≠0)

代入上式，得9×4+25y₀(－)=0  (k≠0)

即k=y₀(當k=0時也成立).

由點P(4，y₀)在弦AC的垂直平分線上，得y₀=4k+m,

所以m=y₀－4k=y₀－y₀=－y₀.

由點P(4，y₀)在線段BB′(B′與B關于x軸對稱)的內部，

得－＜y₀＜,所以－＜m＜.

解法二:  因為弦AC的中點為P(4,y₀)，所以直線AC的方程為

y－y₀=－(x－4)(k≠0)                                         ③

將③代入橢圓方程=1,得

(9k²+25)x²－50(ky₀+4)x+25(ky₀+4)²－25×9k²=0

所以x₁+x₂==8,解得k=y₀. (當k=0時也成立)

(以下同解法一).