Question

(本小題滿分14分)

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=其中λ為實數，n為正整數。

（Ⅰ）對任意實數λ，證明數列{a_n}不是等比數列；

（Ⅱ）試判斷數列{b_n}是否為等比數列，并證明你的結論；

（Ⅲ）設0＜a＜b，S_n為數列{b_n}的前n項和。是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有

a＜S_n＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。

（Ⅱ）見解析。

（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）證明；假設存在一個實數，使是等比數列，則有，

即矛盾。

所以不是等比數列。

（Ⅱ）解：因為

又，所以

當時，些時不是等比數列；

當時，由上可知。

故當時，數列是以為首項，為公比的等比數列。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當λ=-18,b_n=0,S_n=0,不滿足題目要求.

∴λ≠-18，故知b_n= -（λ+18）·（－）^n-1，于是可得

S_n=-

要使a<S_n<b對任意正整數n成立，

即a<-(λ+18)·［1－（－）ⁿ］〈b(n∈N⁺)              

   ①

當n為正奇數時，1<f(n)

∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,

于是，由①式得a<-(λ+18),<

當a<b3a時，由－b-18=-3a-18，不存在實數滿足題目要求；

當時，存在實數，使得對任意正整數，都有，且的取值范圍是。

第（Ⅰ）問問的是證明 “不是等比數列”，這樣的問題顯然用“反證法”；第（Ⅱ）正著問，那就順著推；第（Ⅲ）問要先求和再解建立不等式。