Question

已知函數f（x）=x²+（a-2）x-alnx，其中常數a≠0．
（I）若x=3是函數y=f（x）極值點，求a的值；
（II）當a=-2時，給出兩組直線：6x+y+m=0，x-y+n=0，其中m，n為常數，判斷這兩組直線中是否存在y=f（x）的切線，若存在，求出切線方程；若不存在，請說明理由．
（III）是否存在正實數a，使得關于x的方程f（x）=（3a-2）x+alnx有唯一實數解？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）函數f（x）的定義域是（0，+∞）
∵f（x）=x²+（a-2）x-alnx，
∴f′（x）=2x+（a-2）-=
∵x=3是函數y=f（x）的極值點，
∴f′（3）=0，即=0∴a=-6
檢驗：當a=-6時，f（x）=x²-8x+6lnx，f′（x）=2x-8+=
∴x∈（1，3）時，f′（x）＜0，∈（3，+∞）時，f′（x）＞0，此時，x=3是函數y=f（x）的極小值點．
∴當x=3是函數的極值點時，a=-6
（II）當a=-2時，f（x）=x²-4x+2lnx（x＞0），
∴f′（x）=2（x+-2）≥0
∴曲線f（x）在定義域內的任意一點處的切線的斜率都大于等于0．
∴曲線f（x）可以與x-y+n=0中的一條直線相切
此時切線的斜率是1，
設切點坐標為（x₀，f（x₀）），則由f′（x₀）=1解得x₀=或2．
∴切點坐標為（，-2-2ln2），或（2，-4+ln2），
切線方程為x-y-2-2ln2=0或x-y-6+2ln2=0
（III）方程f（x）=（3a-2）x+alnx可化為x²+（a-2）x-alnx=（3a-2）x+alnx
即x²-2ax=2alnx
令函數g（x）=x²-2ax，h（x）=2alnx
∴函數g（x）的圖象與函數h（x）的圖象當x＞0時有唯一交點．
而當a＞0時，g（x）圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，且過原點，
h（x）圖象在y軸右側，為過（1，0）點的增函數，兩函數的圖象一定有2個交點．
∴不在正實數a，使得關于x的方程f（x）=（3a-2）x+alnx有唯一實數解
分析：（I）若x=3是函數y=f（x）極值點，則x=3時導數一定為0，求出函數的導數，令導數等于0，解出a值即可．
（II）y=f（x）的切線斜率，時y=f（x）在切點出的導數，先求導，判斷導數的正負，考慮哪條直線有可能是切線，
再根據導數值等于直線的斜率求切點坐標，若能求出，則存在，再求切線方程即可．
（III）把判斷方程f（x）=（3a-2）x+alnx有唯一實數解的問題，轉化為判斷函數由唯一交點的問題，再借助二次函數與對數函數圖象判斷．
點評：本題考查了導數與極值之間的關系，導數幾何意義的應用，以及利用函數圖象判斷方程的根的個數．