Question

【題目】在平面上，給定非零向量，對任意向量，定義.

（1）若，，求；

（2）若，證明：若位置向量的終點在直線上，則位置向量的終點也在一條直線上；

（3）已知存在單位向量，當位置向量的終點在拋物線：上時，位置向量終點總在拋物線：上，曲線和關于直線對稱，問直線與向量滿足什么關系？

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明 （3）直線與向量垂直

【解析】

（1）根據題意，算出7，10，代入的表達式并化簡整理，即可得到（，）；（2）設（x'，y'），終點在直線Ax+By+C＝0上，由題中的表達式解出（x，y）滿足的關系式，從而得到點（，）在直線Ax+By+C＝0上，化簡整理得到直線（3A+4B）x+（4A﹣3B）y﹣5C＝0，說明向量的終點也在一條直線上；（3）設，則，取，解出關于和t的坐標形式，結合的終點在拋物線x2＝y上且終點在拋物線y2＝x上，建立關于和t的方程，化簡整理得到±（，）．再由曲線C和C′關于直線l：y＝x對稱，算出l的方向向量滿足0，從而得到直線l與向量垂直．

（1）根據題意，7，10，∴.

（2）設，，則

，

∴

于是故，

從而，

由于、不全為零，所以，也不全為零.

于是的終點在直線上.

（3）設，則，對任意實數，取，

則

，

∵的終點在曲線上，

∴.①

由于為任意實數，比較①式兩邊的系數得

，，，

從而，，

∴.

對曲線中任意點，可知落在曲線上，反之亦然，故曲線：與曲線：關于直線：對稱，

的方向向量，∵，∴，即直線與向量垂直.