Question

設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.

(1)求a2的值；

(2)求數列{an}的通項公式；

(3)證明：對一切正整數n，有.

 

Answer 1

（1）a2＝4.（2）an＝n2.（3）見解析

【解析】(1)2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4.

(2)當n≥2時，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，

2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－ (n－1)，

兩式相減得2an＝nan＋1－(n－1)an－ (3n2－3n＋1)－(2n－1)－，

整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，

即＝1，又＝1，

故數列是首項為＝1，公差為1的等差數列，

所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.

(3)當n＝1時，＝1＜，當n＝2時，＋＝1＋＝＜，

當n≥3時，＝＜＝，

＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋＝＋－＝－<，所以對一切正整數n，有.