Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓：過點，，為橢圓的左、右焦點，離心率為，圓的直徑為.

（1）求橢圓及圓的方程；

（2）設直線與圓相切于第一象限內的點.

①若直線與橢圓有且只有一個公共點，求點的坐標；

②若直線與橢圓交于，兩點，且的面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）橢圓:;圓:（2）① ,②

【解析】

（1）根據橢圓所過定點及離心率,結合橢圓中的關系,即可求得橢圓的標準方程;求得圓的圓心和半徑,即可得圓的方程.

（2）①根據橢圓與圓的位置關系,可知當直線與圓相切于第一象限內的點,且直線與橢圓有且只有一個公共點時,直線的斜率必小于0.設出直線方程,由直線與圓相切及點到直線距離公式,可得與的等量關系.聯立直線方程與橢圓方程,由一個交點時可得與的等量關系.建立方程組可得與的值,即可求得直線方程.將直線方程與圓的方程聯立,即可求得切點坐標.

②設,將直線方程與橢圓方程聯立,可得,,由兩個交點時可求得的取值范圍.利用弦長公式表示出,由點到直線距離公式表示出到直線的距離.結合的面積為即可得與的等量關系.解方程求得與的值,即可求得直線方程.

（1）橢圓：過點,離心率

所以,解方程組可得

故橢圓的方程為

圓的直徑為,則圓心為,半徑為

所以圓的方程為

（2）①橢圓的方程為,圓的方程為,如下圖所示:

直線與圓相切于第一象限內的點,且直線與橢圓有且只有一個公共點,

所以直線與橢圓也相切,且切點在第一象限,切點的縱坐標小于點的縱坐標

因而直線的斜率小于0

設直線的方程為,即

因為直線與圓相切,則圓心到直線的距離為圓的半徑,即,

化簡可得

因為直線與橢圓也相切,則

化簡可得

則

解得

所以

解得,(舍)

則

所以直線的方程為

則,化簡可得

解得

所以切點的坐標為

②直線與橢圓交于,兩點,設

聯立直線與橢圓,則

化簡可得

則

由題意可知

化簡解不等式可得

由弦長公式可得

由點到直線距離公式可知到直線的距離

則

將,即代入可解得

即,(舍),則

所以直線的方程為