Question

已知函數f(x)=

x2-4

 (x＜-2)，記f^-1（x）為f（x）的反函數，若數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=-f^-1（a_n）（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

1

an+an+1

，問：是否存在常數k，使得對任意的正整數n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立．若存在，求出常數k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數y=f(x)=

x2-4

 (x＜-2)，得f-1(x)=-

x2+4

(x＞0)，根據題意和反函數定義可得：a_n²-a_n-1²=4，a₁=1，由此能夠求出an=

4n-3

，n∈N^*．
（2）由an=

4n-3

，知bn=

1

an+an+1

=

1

4n-3 + 4n+1

=

1

4

(

4n+1

-

4n-3

)，b₁+b₂+…+b_n=

1

4

(

4n+1

-1)．對任意的正整數n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立，所以對任意的正整數n都有

1

4

(

4n+1

-1)≤k•n成立．整理，得：對任意的正整數n都有16nk²+8k-4≥0成立，由此能求出k的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數y=f(x)=

x2-4

 (x＜-2)，
∴y²=x²-4，y＞0，
x=-

y2+4

，x，y互換，得f-1(x)=-

x2+4

(x＞0)，
根據題意和反函數定義可得：a_n²-a_n-1²=4，a₁=1，
∴a_n²=1+4（n-1）=4n-3，n∈N^*，
∴an=

4n-3

，n∈N^*．
（2）∵an=

4n-3

，n∈N^*，
∴bn=

1

an+an+1

=

1

4n-3 + 4n+1

=

1

4

(

4n+1

-

4n-3

)，
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

4

[(

5

 -1)+(

9

-

5

)+(

13

-

9

)+…+(

4n+1

-

4n-3

）]
=

1

4

(

4n+1

-1)．
∵對任意的正整數n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立，
∴對任意的正整數n都有

1

4

(

4n+1

-1)≤k•n成立．
整理，得：對任意的正整數n都有16nk²+8k-4≥0成立，
∵對任意的正整數n都有16nk²≥0，
∴8k-4≥0，k≥

1

2

時，對任意的正整數n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立．
故存在常數k，k的取值范圍[

1

2

+∞）．

點評：本題考查數列與函數的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．